Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме

ВЕКТОРЫ МАТРИЦ

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ

ВЕКТОРОВ МАТРИЦ

Разглядим СЛАУ, записанную в матричной форме

(1)

где - квадратная матрица, и - вектор-столбцы,

другими словами .

Если окажется, что координаты вектора-столбца пропорциональны подходящим координатам искомого вектора-столбца с коэффициентом пропорциональности , другими словами:

, (2)

то ненулевой вектор-столбец именуется своим вектором матрицы A, а коэффициент пропорциональности - своим Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме значением матрицы A. Потому что , а , то разумеется, что (1) в данном случае можно записать так:

(3)

Таким макаром, если производится условие (3) для СЛАУ (1), то вектор именуется своим вектором матрицы A, подходящим ее собственному значению .

ПРИМЕР 1. Пусть

Тогда

.

Как следует, число =6 является своим значением матрицы A, потому что производится равенство (3).

Перепишем соотношение (3) последующим образом Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме:

либо

. (4)

Запишем сейчас (4) в развернутом виде:

. (5)

Выражение (5) представляет собой линейную однородную систему алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение и тогда только тогда, когда ее определитель равен нулю, другими словами когда производится условие

. (6)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Уравнение (6) именуется характеристическим уравнением матрицы A, а его левая часть - характеристическим многочленом (либо характеристическимопределителем) матрицыА. В развернутом виде характеристическое Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме уравнение записывается так:

. (7)

Если раскрыть определитель (7), то получится многочлен n-й степени относительно :

(8)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Величины , определенные из алгебраического уравнения (8), принимают значения и именуются своими значениями матрицы A, а их совокупа – диапазоном этой матрицы.

Для нахождения всех собственных векторов матрицы А, соответственных своим значениям нужно решить систему линейных однородных Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме алгебраических уравнений (4), другими словами для каждого собственного значения .

ПРИМЕР 2. Отыскать собственные значения и собственные векторы матрицы .

а) Шаг 1. Запишем характеристический многочлен матрицы A и определим значения .

Имеем

.

Характеристическое уравнение имеет два корня и , которые и являются своими значениями матрицы A.

б) Шаг 2. Найдем свой вектор , соответственный значению . Запишем однородную СЛАУ Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме в матричной форме, подобающую .

либо

,

что равносильно системе:

которая имеет бессчетное огромное количество решений вида . Полагая ( - хоть какое число), получим .

Тогда разыскиваемый свой вектор, соответственный собственному значению , запишется так:

.

Найдем сейчас свой вектор , соответственный второму собственному значению . Имеем:

,

либо

Отсюда . Полагая , получим , означает, 2-ой свой вектор имеет вид

.

Таким макаром, приведенная выше схема Рассмотрим СЛАУ, записанную в матричной форме определения собственных значений и собственных векторов матриц состоит из последующих шагов:

а) Шаг 1. Необходимо составить характеристическое уравнение и отыскать его корешки, другими словами весь диапазон собственных значений.

б) Шаг 2. Решить однородные СЛАУ для и найти тем все собственные вектора матрицы А.


rasstrojstva-predstavlenij.html
rasstrojstva-samosoznaniya-psihicheskie-dushevnie-processi-i-sostoyaniya.html
rasstrojstva-sistemi-slizi.html